Poređenje infinitezimalnih funkcija na mreži. Poređenje beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija

Test

Disciplina: Viša matematika

Tema: Ograničenja. Poređenje infinitezimala

1. Granica niza brojeva

2. Granica funkcije

3. Druga divna granica

4. Poređenje infinitezimalnih veličina

Književnost

1. Granica niza brojeva

Rješenje mnogih matematičkih i primijenjenih problema dovodi do niza brojeva specificiranih na određeni način. Hajde da saznamo neke od njihovih svojstava.

Definicija 1.1. Ako za svaki prirodan broj

prema nekom zakonu, dodjeljuje se realan broj, tada se skup brojeva naziva niz brojeva.

Na osnovu definicije 1, jasno je da brojčani niz uvijek sadrži beskonačan broj elemenata. Proučavanje različitih brojčanih nizova pokazuje da kako se broj povećava, njihovi članovi se ponašaju drugačije. Mogu se neograničeno povećavati ili smanjivati, mogu se stalno približavati određenom broju ili uopće ne pokazivati nikakav obrazac.

Definicija 1.2. Broj

naziva se granica niza brojeva ako za bilo koji broj postoji broj niza brojeva u zavisnosti od uslova koji je zadovoljen za sve brojeve niza brojeva.

Niz koji ima ograničenje naziva se konvergentan. U ovom slučaju pišu

Očigledno, da bi se razjasnilo pitanje konvergencije numeričkog niza, neophodno je imati kriterijum koji bi se zasnivao samo na svojstvima njegovih elemenata.

Teorema 1.1.(Cauchyjev teorem o konvergenciji brojnog niza). Da bi niz brojeva bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo koji broj

postojao je broj numeričkog niza ovisno o , Tako da za bilo koja dva broja numeričkog niza i koji zadovoljavaju uvjet i , nejednakost bi bila istinita.

Dokaz. Nužnost. S obzirom da je niz brojeva

konvergira, što znači da, u skladu sa definicijom 2, ima granicu. Hajde da izaberemo neki broj. Zatim, prema definiciji granice numeričkog niza, postoji broj takav da nejednakost vrijedi za sve brojeve. Ali pošto je proizvoljno, i biće ispunjeno. Uzmimo dva redna broja i , Zatim .

Iz toga slijedi

, odnosno dokazana je potreba.

Adekvatnost. To je dato

. To znači da postoji broj takav da za dati uvjet i . Konkretno, ako , I , Tada ili pod uvjetom da . To znači da je brojčani niz za ograničen. Stoga, barem jedan od njegovih podnizova mora konvergirati. Neka . Dokažimo da konvergira također.

Uzmimo proizvoljno

. Zatim, prema definiciji granice, postoji broj takav da nejednakost vrijedi za sve. S druge strane, uslovom je dato da niz ima takav broj da će uvjet biti zadovoljen za sve. i popraviti neke. Tada za svakog dobijamo: .

Iz toga slijedi

Kao što je pokazano, zbroj, razlika i proizvod infinitezimalnih funkcija su beskonačno mali, ali isto se ne može reći za partikularno: dijeljenje jedne infinitezimalne s drugom može dati različite rezultate.

Na primjer, ako je a(x) = 2x, p(x) = 3x, onda

Ako je a(x) = x 2, P (l;) = x 3, onda

Preporučljivo je uvesti pravila za poređenje infinitezimalnih funkcija koristeći odgovarajuću terminologiju.

Neka u X -» A funkcije a(x) i p(.v) su beskonačno male. Zatim se razlikuju sljedeće opcije za njihovo poređenje, ovisno o vrijednosti With granica u jednom trenutku A njihov odnos:

1. Ako With= I, tada su a(x) i P(x) ekvivalentne infinitezimale: a(x) - p(x).
2. Ako With= 0, onda je a(x) infinitezimal višeg reda od p(x) (ili ima viši red malenosti).
3. Ako With = d* 0 (d- broj), onda Oh) i P(x) su infinitezimali istog reda.

Često nije dovoljno znati da je jedan beskonačno mali u odnosu na drugi infinitezimal višeg reda male veličine; Stoga se koristi sljedeće pravilo.

4. Ako Mm - - =d*0, tada je a(x) infinitezimal l-tog reda u odnosu na - *->lp"(*)

doslovno P(x). U tom slučaju koristite simbol o "o" mala"): a(x) = o(P(x)).

Imajte na umu da vrijede slična pravila za poređenje infinitezimalnih funkcija za x -»oo, X-" -oo, X-> +«>, kao i u slučaju jednostranih granica na x -» A lijevo i desno.

Jedno važno svojstvo proizlazi iz pravila poređenja:

onda postoji granica lim 1, a obje ove granice su jednake.

U velikom broju slučajeva, dokazana izjava pojednostavljuje izračunavanje limita i izvođenje procjena.

Pogledajmo nekoliko primjera.

1. Funkcije grijeha X I X at X-» 0 su ekvivalentne infinitezimima zbog granice (8.11), tj. at X -> 0 sin X ~ X.

Zaista, imamo:

2. Funkcije grijeha kh i grijeh X su na q: -> 0 infinitezimala istog reda, pošto
3. Funkcija a(x) = cos ah - cos bx (a * b) je na X-» 0 infinitezimala drugog reda malenosti u odnosu na infinitezimal.v, pošto

Primjer 7. Pronađite lim

*-+° x + x"

Rješenje. Od grijeha kh ~ kh I X + x 2 ~ X:

Poređenje beskonačno velikih funkcija

Za beskonačno velike funkcije važe i slična pravila poređenja, s jedinom razlikom što se za njih, umjesto termina „red malenosti“, koristi termin „red rasta“.

Objasnimo ono što je rečeno na primjerima.

1. Funkcije f(x) = (2 + x)/x i g(x) = 2/x at X-» 0 su ekvivalentne beskonačno velikim, pošto

Podaci o funkciji /(X) i #(*) imaju isti redoslijed rasta.

2. Uporedimo redoslijed rasta funkcija f(x) = 2x?+I i g(x)= x 3 + X at X-> zašto pronaći granicu njihovog omjera:

Iz toga slijedi da je funkcija g(x) ima viši red rasta od funkcije / (x).

3. Beskonačno velike funkcije za x -» °o /(x) = 3x 3 + X i #(x) = x 3 - 4x 2 imaju isti red rasta, pošto

4. Funkcija /(x) = x 3 + 2x + 3 je beskonačno velika za x -»

trećeg reda u odnosu na beskonačno veliku funkciju g(x) = x - I, pošto

Neka a(x) I b(x) – b.m. funkcije na x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Razmotrimo granicu njihovog omjera na x® a.

1. Ako je = b I b– konačan broj, b¹ 0, zatim funkcije a(x), b(x) nazivaju se infinitezimalnim jedan red malenosti at x® a.

2. Ako je = 0, onda a(x) naziva se infinitezimalnim višeg reda , kako b(x) at x® a. Očigledno, u ovom slučaju = ¥.

3. Ako a(x) – b.m. višeg reda od b(x), i = b¹ 0 ( b– konačan broj, kÎ N ), To a(x) naziva se infinitezimalnim k-ti red, u poređenju sa b(x) at x® a.

4. Ako ne postoji (ni konačno ni beskonačno), onda a(x), b(x) se zovu neuporedivo b.m. at x® a.

5. Ako je = 1, onda a(x), b(x) se zovu ekvivalentno b.m. at x® a, što je označeno kako slijedi: a(x) ~ b(x) at x® a.

Primjer 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Očigledno je da kada x® 1 funkcije a(x), b(x) su b.m. Da bismo ih uporedili, pronađimo granicu njihovog omjera na x® 1:

zaključak: a(x b(x) at x® 1.

Lako je provjeriti da je = (uvjerite se!), iz čega slijedi a(x) – b.m. 3. reda male veličine, u poređenju sa b(x) at x® 1.

Primjer 2. Funkcije a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = grijeh x, a 4 (x) = tg x su beskonačno male na x® 0. Uporedimo ih:

0, , = 1, = ¥.

Iz ovoga zaključujemo da a 2 (x) = x 2 – b.m. višeg reda u odnosu na a 1 (x) I a 3 (x) (kod x® 0), a 1 (x) I a 3 (x) – b.m. isti red a 3 (x) I a 4 (x) – ekvivalent b.m., tj. grijeh x~tg x at x® 0.

Teorema 1. Neka a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) at x® a. Ako postoji, tada postoje oba i =.

Dokaz. = 1, = 1,

= = .

Ova teorema olakšava pronalaženje granica.

Primjer 3.

Pronađite .

Zbog prve izuzetne granice sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3x at x® 0, dakle

Teorema 2. Infinitezimalne funkcije a(x) I b(x) su ekvivalentni (sa x® a) ako i samo ako a(x) – b(x) je b.m. višeg reda u odnosu na a(x) I b(x) (kod x® a).

Dokaz

Neka a(x) ~ b(x) at x® a. Onda = = 0, tj. razlika a(x) – b(x a(x) u at x® a(slično kao b(x)).

Neka a(x) – b(x) – b.m. višeg reda u odnosu na a(x) I b(x), to ćemo pokazati a(x) ~ b(x) at x® a:

= = + = 1,

Šta su beskonačno male funkcije

Međutim, funkcija može biti beskonačno mala samo u određenoj tački. Kao što je prikazano na slici 1, funkcija je infinitezimalna samo u tački 0.

Slika 1. Infinitezimalna funkcija

Ako granica kvocijenta dvije funkcije rezultira 1, za funkcije se kaže da su ekvivalentne infinitezimale jer x teži tački a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definicija

Ako su funkcije f(x), g(x) beskonačno male za $x > a$, tada:

Funkcija f(x) naziva se infinitezimalnom višeg reda u odnosu na g(x) ako je ispunjen sljedeći uvjet:
Funkcija f(x) naziva se infinitezimalnom reda n u odnosu na g(x) ako je različita od 0 i granica je konačna:

Primjer 1

Funkcija $y=x^3$ je infinitezimalna višeg reda za x>0, u poređenju sa funkcijom y=5x, pošto je granica njihovog odnosa 0, to se objašnjava činjenicom da je funkcija $y=x ^3$ teži nuli vrijednosti brže:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x=0\]

Primjer 2

Funkcije y=x2-4 i y=x2-5x+6 su infinitezimale istog reda za x>2, jer granica njihovog omjera nije jednaka 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ do 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Svojstva ekvivalentnih infinitezimala

Razlika između dva ekvivalentna infinitezimala je infinitezimala višeg reda u odnosu na svaku od njih.
Ako iz zbira nekoliko infinitezimala različitih redova odbacimo infinitezime višeg reda, tada je preostali dio, koji se naziva glavni dio, ekvivalentan cijelom zbiru.

Iz prvog svojstva slijedi da ekvivalentne infinitezimale mogu postati približno jednake sa proizvoljno malom relativnom greškom. Stoga se znak ≈ koristi i za označavanje ekvivalencije infinitezimala i za pisanje približne jednakosti njihovih dovoljno malih vrijednosti.

Prilikom pronalaženja granica vrlo je često potrebno koristiti zamjenu ekvivalentnih funkcija radi brzine i pogodnosti proračuna. Tabela ekvivalentnih infinitezimala je prikazana u nastavku (Tabela 1).

Ekvivalentnost infinitezimala datih u tabeli može se dokazati na osnovu jednakosti:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabela 1

Primjer 3

Dokažimo ekvivalentnost infinitezimalnih ln(1+x) i x.

dokaz:

Nađimo granicu odnosa količina
Da bismo to učinili, primjenjujemo svojstvo logaritma:
Znajući da je logaritamska funkcija kontinuirana u svojoj domeni definicije, možemo zamijeniti predznak granice i logaritamsku funkciju:
Pošto je x beskonačno mala veličina, granica teži 0. To znači:

(primijenjeno drugo divno ograničenje)