ტესტი
დისციპლინა: უმაღლესი მათემატიკა
თემა: საზღვრები. უსასრულო მცირეთა შედარება
1. რიცხვთა მიმდევრობის ლიმიტი
2. ფუნქციის ლიმიტი
3. მეორე მშვენიერი ლიმიტი
4. უსასრულო სიდიდეების შედარება
ლიტერატურა
1. რიცხვთა მიმდევრობის ლიმიტი
მრავალი მათემატიკური და გამოყენებითი ამოცანის ამოხსნას მივყავართ გარკვეული გზით მითითებულ რიცხვთა თანმიმდევრობამდე. მოდით გავარკვიოთ მათი ზოგიერთი თვისება.
განმარტება 1.1.თუ ყოველ ნატურალურ რიცხვზე
ზოგიერთი კანონის მიხედვით ენიჭება რეალური რიცხვი, შემდეგ რიცხვთა სიმრავლეს რიცხვთა მიმდევრობა ეწოდება.განმარტება 1-ზე დაყრდნობით, ცხადია, რომ რიცხვითი თანმიმდევრობა ყოველთვის შეიცავს უსასრულო რაოდენობის ელემენტებს. სხვადასხვა რიცხვების მიმდევრობის შესწავლა აჩვენებს, რომ რიცხვის მატებასთან ერთად მათი წევრები განსხვავებულად იქცევიან. ისინი შეიძლება გაიზარდოს ან შემცირდეს განუსაზღვრელი ვადით, შეიძლება მუდმივად მიუახლოვდეს გარკვეულ რაოდენობას, ან შეიძლება საერთოდ არ აჩვენონ რაიმე ნიმუში.
განმარტება 1.2.ნომერი
ეწოდება რიცხვთა მიმდევრობის ზღვარი, თუ რომელიმე რიცხვისთვის არის რიცხვითი მიმდევრობის რიცხვი, რაც დამოკიდებულია იმ პირობაზე, რომელიც დაკმაყოფილებულია რიცხვთა მიმდევრობის ყველა რიცხვისთვის.მიმდევრობას, რომელსაც აქვს ზღვარი, ეწოდება კონვერგენტული. ამ შემთხვევაში წერენ
.ცხადია, რიცხვითი მიმდევრობის კონვერგენციის საკითხის გასარკვევად, აუცილებელია კრიტერიუმი, რომელიც დაფუძნებული იქნება მხოლოდ მისი ელემენტების თვისებებზე.
თეორემა 1.1.(კოშის თეორემა რიცხვთა მიმდევრობის კონვერგენციის შესახებ). იმისათვის, რომ რიცხვების მიმდევრობა იყოს კონვერგენტული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ნებისმიერი რიცხვისთვის
არსებობდა რიცხვითი მიმდევრობის რიცხვი, რომელიც დამოკიდებულია , ისეთი, რომ რიცხვითი მიმდევრობის ნებისმიერი ორი რიცხვისთვის და რომელიც აკმაყოფილებს პირობას და უტოლობა იქნება ჭეშმარიტი.მტკიცებულება. აუცილებლობა. იმის გათვალისწინებით, რომ რიცხვების თანმიმდევრობა
თანხვედრა, რაც ნიშნავს, რომ განმარტება 2-ის შესაბამისად, მას აქვს ლიმიტი. ავირჩიოთ რაღაც ნომერი. შემდეგ, რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის განსაზღვრით, არის ისეთი რიცხვი, რომ უტოლობა ყველა რიცხვისთვის ნარჩუნდება. მაგრამ რადგან ეს თვითნებურია და შესრულდება. ავიღოთ ორი რიგითი რიცხვი და შემდეგ .აქედან გამომდინარეობს
, ანუ აუცილებლობა დადასტურდა.ადეკვატურობა. მოცემულია რომ
. ეს ნიშნავს, რომ არის ისეთი რიცხვი, რომ მოცემული პირობისთვის და . კერძოდ, თუ , და , მაშინ ან იმ პირობით, რომ . ეს ნიშნავს, რომ რიცხვების თანმიმდევრობა შეზღუდულია. ამიტომ, მისი ერთ-ერთი ქვემიმდევრობა მაინც უნდა გადაიზარდოს. დაე . მოდით დავამტკიცოთ, რომ ის ასევე ემთხვევა.ავიღოთ თვითნებობა
. შემდეგ, ლიმიტის განსაზღვრის მიხედვით, არის ისეთი რიცხვი, რომ უტოლობა ყველასთვის მოქმედებს. მეორეს მხრივ, პირობით მოცემულია, რომ მიმდევრობას აქვს ისეთი რიცხვი, რომ პირობა ყველასთვის დაკმაყოფილდება. და შეასწორეთ ზოგიერთი. მაშინ ყველასთვის მივიღებთ: .აქედან გამომდინარეობს
როგორც აჩვენა, უსასრულოდ მცირე ფუნქციების ჯამი, სხვაობა და ნამრავლი უსასრულოდ მცირეა, მაგრამ იგივეს ვერ ვიტყვით კონკრეტულზე: ერთი უსასრულო მცირეს მეორეზე გაყოფამ შეიძლება სხვადასხვა შედეგი მოგვცეს.
მაგალითად, თუ a(x) = 2x, p(x) = 3x, მაშინ
თუ a(x) = x 2, P (l;) = x 3, მაშინ
მიზანშეწონილია დაინერგოს უსასრულოდ მცირე ფუნქციების შედარების წესები შესაბამისი ტერმინოლოგიის გამოყენებით.
დაუშვით X -» აფუნქციები a(x) და p(.v) უსასრულოდ მცირეა. შემდეგ განასხვავებენ მათი შედარების შემდეგ ვარიანტებს, ღირებულებიდან გამომდინარე თანლიმიტი ერთ წერტილში ამათი ურთიერთობა:
- 1. თუ თან= I, მაშინ a(x) და P(x) არის ეკვივალენტური უსასრულო: a(x) - p(x).
- 2. თუ თან= 0, მაშინ a(x) არის p(x)-ზე მაღალი რიგის უსასრულოდ მცირე (ან აქვს სიმცირის უფრო მაღალი რიგი).
- 3. თუ თან = d* 0 (დ- ნომერი), შემდეგ ოჰ)და P(x) არის ერთი და იმავე რიგის უსასრულო მცირე.
ხშირად საკმარისი არ არის იმის ცოდნა, რომ ერთი უსასრულოდ პატარა მეორესთან მიმართებაში არის უსასრულო სიმცირის უმაღლესი რიგის სიდიდის შეფასება. ამიტომ გამოიყენება შემდეგი წესი.
4. თუ მმ - - =d*0,მაშინ a(x) არის l-ის რიგის უსასრულო პატარა - *->lp"(*) მიმართებაში.
სიტყვასიტყვით P(x). ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ სიმბოლო ო "ო"პატარა"): a(x) = o(P(x)).
გაითვალისწინეთ, რომ მსგავსი წესები უსასრულო მცირე ფუნქციების x -»oo-სთვის შედარებისთვის მოქმედებს, X-" -ოო, X-> +«>, ასევე ცალმხრივი ლიმიტების შემთხვევაში x -» ამარცხნივ და მარჯვნივ.
შედარების წესებიდან გამომდინარეობს ერთი მნიშვნელოვანი თვისება:
მაშინ არის ლიმიტი 1 და ორივე ეს ზღვარი ტოლია.
რიგ შემთხვევებში, დადასტურებული განცხადება ამარტივებს ლიმიტების გამოთვლას და შეფასებების განხორციელებას.
მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.
1. ცოდვის ფუნქციები Xდა Xზე X-» 0 უდრის უსასრულო პატარას ზღვრის გამო (8.11), ე.ი. ზე X -> 0 ცოდვა X ~ X.
მართლაც, ჩვენ გვაქვს:
- 2. ცოდვის ფუნქციები ხდა ცოდვა Xარიან q: -> 0 იგივე რიგის უსასრულო, რადგან
- 3. ფუნქცია a(x) = cos აჰ - cos bx (ა *ბ)არის X-» 0 უსასრულო სიმცირის მეორე რიგის უსასრულო.v-ის მიმართ, ვინაიდან
მაგალითი 7. იპოვეთ ლიმი
*-+° x + x"
გამოსავალი.ცოდვის შემდეგ ხ ~ ხდა X + x 2 ~ X:
უსასრულოდ დიდი ფუნქციების შედარება
უსაზღვროდ დიდი ფუნქციებისთვის, ანალოგიური შედარების წესებიც მოქმედებს, ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ მათთვის ტერმინი „სიმცირის რიგის“ ნაცვლად გამოიყენება ტერმინი „ზრდის რიგი“.
მოდი მაგალითებით ავხსნათ რაც ითქვა.
1. ფუნქციები f(x) = (2 + x)/xდა g(x) = 2/xზე X-» 0 უდრის უსასრულოდ დიდს, ვინაიდან
ფუნქციის მონაცემები /(X)და #(*) აქვთ იგივე ზრდის რიგი.
2. შევადაროთ ფუნქციების ზრდის თანმიმდევრობები f(x) = 2x?+მე და g(x)= x 3 + Xზე X-> რატომ ვიპოვოთ მათი თანაფარდობის ზღვარი:
აქედან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია გ(x) აქვს ზრდის უფრო მაღალი რიგი, ვიდრე ფუნქცია / (x).
3. უსასრულოდ დიდი ფუნქციები x -» °o /(x) = 3x 3 + Xდა #(x) = x 3 - 4x 2 აქვს ზრდის იგივე რიგი, ვინაიდან
4. ფუნქცია /(x) = x 3 + 2x + 3 უსასრულოდ დიდია x -»
მესამე რიგი უსასრულოდ დიდი ფუნქციის მიმართ გ(x) = x - მე, ვინაიდან
დაე ა(x) და ბ(x) – ბ.მ. ფუნქციონირებს x® ა (x® + ¥, x® –¥, x® x 0,…). განვიხილოთ მათი თანაფარდობის ზღვარი x® ა.
1. თუ = ბდა ბ- საბოლოო ნომერი, ბ¹ 0, შემდეგ ფუნქციები ა(x), ბ(x) ეწოდება უსასრულოდ მცირე სიმცირის ერთი რიგი ზე x® ა.
2. თუ = 0, მაშინ ა(x) ეწოდება უსასრულოდ მცირე უმაღლესი წესრიგი , როგორ ბ(x) ზე x® ა. ცხადია, ამ შემთხვევაში = ¥.
3. თუ ა(x) – ბ.მ. უფრო მაღალი რიგით ვიდრე ბ(x), და = ბ¹ 0 ( ბ- საბოლოო ნომერი, კÎ ნ ), ეს ა(x) ეწოდება უსასრულოდ მცირე კ-მეორე შეკვეთა, შედარებით ბ(x) ზე x® ა.
4. თუ არ არსებობს (არც სასრული და არც უსასრულო), მაშინ ა(x), ბ(x) ეძახიან შეუდარებელი ბ.მ. ზე x® ა.
5. თუ = 1, მაშინ ა(x), ბ(x) ეძახიან ექვივალენტი ბ.მ. ზე x® ა, რომელიც აღინიშნება შემდეგნაირად: ა(x) ~ ბ(x) ზე x® ა.
მაგალითი 1. ა(x) = (1 – x) 3 , ბ (x) = 1 – x 3 .
აშკარაა, რომ როცა x® 1 ფუნქციები ა(x), ბ(x) არიან ბ.მ. მათი შედარებისთვის, ვიპოვოთ მათი თანაფარდობის ზღვარი x® 1:
დასკვნა: ა(x ბ(x) ზე x® 1.
ამის გადამოწმება ადვილია = (დარწმუნდით!), საიდანაც ეს მოჰყვება ამას ა(x) – ბ.მ. სიმცირის მე-3 რიგი, შედარებით ბ(x) ზე x® 1.
მაგალითი 2. ფუნქციები ა 1 (x) = 4x, ა 2 (x) = x 2 , ა 3 (x) = ცოდვა x, ა 4 (x) = ტგ xუსასრულოდ მცირეა x® 0. შევადაროთ ისინი:
0, 
, = 1, = ¥.
აქედან ვასკვნით, რომ ა 2 (x) = x 2 – ბ.მ. უფრო მაღალი შეკვეთით შედარებით ა 1 (x) და ა 3 (x) (ზე x® 0), ა 1 (x) და ა 3 (x) – ბ.მ. იგივე შეკვეთა ა 3 (x) და ა 4 (x) – ექვივალენტი ბ.მ., ე.ი. ცოდვა x~ tg xზე x® 0.
თეორემა 1. დაე ა(x) ~ ა 1 (x), ბ(x) ~ ბ 1 (x) ზე x® ა. თუ არსებობს, მაშინ ორივე და = არსებობს.
მტკიცებულება. = 1, = 1,
= 
= .
ეს თეორემა აადვილებს საზღვრების პოვნას.
მაგალითი 3.
იპოვე .
პირველი საყურადღებო ლიმიტის გამო sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3xზე x® 0, შესაბამისად
თეორემა 2. უსასრულოდ მცირე ფუნქციები ა(x) და ბ(x) ექვივალენტები არიან (ერთთან x® ა) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში ა(x) – ბ(x) არის ბ.მ. უფრო მაღალი შეკვეთით შედარებით ა(x) და ბ(x) (ზე x® ა).
მტკიცებულება
დაე ა(x) ~ ბ(x) ზე x® ა. მერე 
= 
= 0, ე.ი. განსხვავება ა(x) – ბ(x ა(x) at x® ა(მსგავსი ბ(x)).
დაე ა(x) – ბ(x) – ბ.მ. უფრო მაღალი შეკვეთით შედარებით ა(x) და ბ(x), ჩვენ ამას ვაჩვენებთ ა(x) ~ ბ(x) ზე x® ა:
= 
= 
+ = 1,
რა არის უსასრულო პატარა ფუნქციები
თუმცა, ფუნქცია შეიძლება იყოს მხოლოდ უსასრულოდ მცირე კონკრეტულ წერტილში. როგორც 1-ლ სურათზეა ნაჩვენები, ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა მხოლოდ 0 წერტილში.
სურათი 1. უსასრულოდ მცირე ფუნქცია
თუ ორი ფუნქციის კოეფიციენტის ზღვარი მიიღებს 1-ს, ფუნქციები ექვივალენტური უსასრულო მცირეა, რადგან x მიდრეკილია a წერტილისკენ.
\[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
განმარტება
თუ f(x), g(x) ფუნქციები უსასრულოდ მცირეა $x > a$-ისთვის, მაშინ:
- f(x) ფუნქციას ეწოდება უმაღლესი რიგის უსასრულოდ მცირე ზომის g(x) მიმართ, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: \[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
- ფუნქციას f(x) ეწოდება n რიგის უსასრულო მცირეს g(x)-თან მიმართებაში, თუ ის განსხვავდება 0-დან და ზღვარი სასრულია: \[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]
მაგალითი 1
ფუნქცია $y=x^3$ უსასრულოდ მცირეა უმაღლესი რიგის x>0-სთვის, y=5x ფუნქციასთან შედარებით, რადგან მათი თანაფარდობის ზღვარი არის 0, ეს აიხსნება იმით, რომ ფუნქცია $y=x. ^3$ მიდრეკილია ნულოვანი მნიშვნელობისკენ უფრო სწრაფად:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\ 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim)\limits_(x\ 0-მდე ) x=0\]
მაგალითი 2
y=x2-4 და y=x2-5x+6 ფუნქციები ერთი და იგივე რიგის უსასრულო მცირეა x>2-ისთვის, რადგან მათი თანაფარდობის ზღვარი არ არის 0-ის ტოლი:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim)\limits_(x\ 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim)\limits_(x\2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]
ეკვივალენტური უსასრულოების თვისებები
- განსხვავება ორ ეკვივალენტურ უსასრულოდ მცირეს შორის არის უმაღლესი რიგის უსასრულო მცირედი თითოეულ მათგანთან შედარებით.
- თუ სხვადასხვა რიგის რამდენიმე უსასრულო მცირეს ჯამიდან ჩვენ გადავდებთ უმაღლესი რიგის უსასრულო მცირე რაოდენობას, მაშინ დარჩენილი ნაწილი, რომელსაც უწოდებენ ძირითად ნაწილს, უდრის მთელ ჯამს.
პირველი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ეკვივალენტური უსასრულო მცირე შეიძლება გახდეს დაახლოებით ტოლი თვითნებურად მცირე ფარდობითი შეცდომით. მაშასადამე, ნიშანი ≈ გამოიყენება როგორც უსასრულოების ეკვივალენტობის აღსანიშნავად, ასევე მათი საკმარისად მცირე მნიშვნელობების სავარაუდო ტოლობის დასაწერად.
ლიმიტების პოვნისას ძალიან ხშირად საჭიროა გამოიყენოს ექვივალენტური ფუნქციების ჩანაცვლება გამოთვლების სიჩქარისა და მოხერხებულობისთვის. ეკვივალენტური უსასრულოების ცხრილი წარმოდგენილია ქვემოთ (ცხრილი 1).
ცხრილში მოცემული უსასრულო მცირე ზომის ეკვივალენტობა შეიძლება დადასტურდეს ტოლობის საფუძველზე:
\[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
ცხრილი 1
მაგალითი 3
მოდით დავამტკიცოთ უსასრულო მცირე ln(1+x) და x-ის ეკვივალენტობა.
მტკიცებულება:
- ვიპოვოთ რაოდენობების შეფარდების ზღვარი \[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
- ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმის თვისებას: \[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x)) \]
- იმის ცოდნა, რომ ლოგარითმული ფუნქცია უწყვეტია მისი განმარტების დომენში, შეგვიძლია შევცვალოთ ლიმიტის ნიშანი და ლოგარითმული ფუნქცია: \[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\a) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ მარჯვენა)\]
- ვინაიდან x არის უსასრულო სიდიდე, ზღვარი მიდრეკილია 0-მდე. ეს ნიშნავს: \[\mathop(\lim)\limits_(x\a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim)\limits_(x\a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x)) =\ln \left(\mathop(\lim)\limits_(x\0) (1+x)^(\frac(1)(x)) \ მარჯვნივ)=\ln e=1\]
(გამოიყენა მეორე შესანიშნავი ლიმიტი)
