учитель математики
Ливадийского УВК
Постернакова Ольга Глебовна
ПОНЯТИЕ СОФИЗМА
Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.
- Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами.
- Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса.
- Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы.
- Запрещенные действия;
- пренебрежение условиями теорем; формул и правил;
- ошибочный чертеж;
- опора на ошибочные умозаключения.
ФОРМУЛА УСПЕШНОСТИ СОФИЗМА
- Успешность софизма определяется следующей формулой:
a + b + c + d + e + f ,
где (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы.
- а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием). b - положительные качества лица (способность активно мыслить) с - аффективный элемент в душе искусного диалектика d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика f - пассивность слушателя
- а - отрицательные качества лица (отсутствие развития способности управлять вниманием).
- b - положительные качества лица (способность активно мыслить)
- с - аффективный элемент в душе искусного диалектика
- d - качества, которые пробуждаются в душе жертвы софиста и омрачают в ней ясность мышления
- е - категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика
- f - пассивность слушателя
- Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю.
- Возьмем произвольное не равное нулю число а и напишем уравнение х = а. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах = -4а 2 . Прибавляя к обеим частям последнего равенства х 2 и перенеся член -4а 2 влево с противоположным знаком, получим х 2 -4ах + 4a 2 = х 2 , откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем
- (х-2а) 2 = х 2 , х-2а = х.
- Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а = а, или -а = а, откуда 0 = a + a,
- т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.
- Все числа равны между собой
- Докажем, что 5=6.
- Запишем равенство:
- 35+10-45=42+12-54
- Вынесем за скобку общие
- множители: 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
- Разделим обе части этого равенства на
- общий множитель (он заключен в скобки):
- 5∙(7+2-9)=6∙(7+2-9).
- Значит, 5=6 .
- «Дважды два равно пяти».
- Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a*a=2db-b*b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5
- « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
- Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c .
- Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc. Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда: b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ СОФИЗ м
- Бесконечное большое число равно нулю
- Если острый угол увеличивается. Приближаясь к 900 как к пределу, то его тангенс, как известно, неограниченно растёт по абсолютной величине, оставаясь положительным: tg90 0 = +∞.
- Но если взять тупой угол и уменьшить его, приближая к 900 как к пределу, то его тангенс, оставаясь отрицательным, также неограниченно растёт по абсолютной величине: tg90 0 = - ∞.
- Сопоставим формулы (1) и (2): - ∞ = +∞
- «Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное»
- Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
- «Софизм Кратила»
- Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится.
- «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
- «Сократ - человек; человек - не то же самое, что Сократ; значит, Сократ - это нечто иное, чем Сократ».
- «Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».
- «Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить».
- «Одна и та же вещь не может иметь какое-то свойство и не иметь его. Хозрасчет предполагает самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность - это, очевидно, не ответственность, а ответственность - не самостоятельность. Получается вопреки сказанному вначале, что хозрасчет включает самостоятельность и несамостоятельность, ответственность и безответственность».
- «Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, те-перь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».
- "Предмет математики настолько серьезен,что полезно не упускать случаев сделать его немного занимательным".
- Б. Паскаль
Слайд 2
Слайд 3
Данная работа открывает перед учащимися уникальную возможность проследить как математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Актуальность Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.
Слайд 4
Методы исследования Анкетирование Демонстрация презентаций Анализ и контроль полученных результатов
Слайд 5
Софизм(в переводе с греческого – « мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») – ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизмоснован на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. ? Что такое софизмы?
Слайд 6
Софистика – это искусство ведения спора Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми малыми ошибками. И. Ньютон Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. Б. Паскаль Правильно понятая ошибка-это путь к открытию. И.П.Павлов Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. Л. Эйлер
Слайд 7
Классификация ошибок Интеллектуальные Аффективные Волевые Логические Психологические Терминологические 2 · 2 + 5 =9 2 · (2 + 5) =14
Слайд 8
Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Логические Классификация софизмов по темам математического цикла Е
Слайд 9
Я представляю вашему вниманию классификацию софизмов по разделам математики, которая позволяет на эмоциональном уровне понять и закрепить то или иное математическое правило, что способствует более глубокому пониманию и осмыслению и показывает, что математика – это живая наука.
Слайд 10
Алгебра Упрощение выражений. Единицы измерений Разложение на множители Формулы сокращенного умножения Арифметический квадратный корень Решение неравенств Рациональные выражения Числовые последовательности Равносильные уравнения Логарифмы Тригонометрия Отрицательные и положительные числа 6класс 7класс 8класс 9класс 10класс 5класс
Слайд 11
Геометрия Внешний угол треугольника Параллельные и перпендикулярные прямые Сумма углов треугольника Пропорциональные отрезки Четырехугольники Окружность Решение треугольников Метод координат Треугольник 7класс 8класс 9класс
Слайд 12
Слайд 13
Средний балл Процент допустивших ошибки Процент выполнивших правильно
Слайд 14
Вывод Ценным является то, что в ходе такой работы обогащается культура мышления ученика, общая культура, развивается интеллект. Оценка деятельности ученика и самооценка сближаются на основе тезиса: не то ценно, что ошибок не совершил, а то, что нашел причину ошибки и устранил ее. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.
Слайд 15
Ахманов А. С. «Логическое учение Аристотеля», Москва - 1960 2. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» -2004 3. Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К. «Ошибки в математических рассуждениях», Москва - 1967 4. Брутян Г. «Паралогизм, софизм и парадокс. Вопросы философии» - 1959 Мадера А. Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы», Москва,Просвещение-2003 6. Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. «Математическая шкатулка» Москва, Просвещение - 1988 Список литературы Благодарю за внимание
Посмотреть все слайды
Слайд 2
Цель проекта: Значение математических софизмов в развитии логического мышления школьников.
Задачи проекта: Познакомиться с понятием – софизм. Рассмотреть примеры математических софизмов. Провести исследование по школе среди учащихся 6-х, 7-х и 9-х классов. Проанализировать полученные результаты. Используемые методы: Изучение литературы Решение математических задач Сбор и обработка данных с помощью информационных технологий Создание презентации
Слайд 3
Что такое софизм
Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Виды математических софизмов: Арифметические софизмы Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Правильно понятая ошибка – это путь к открытию И.П. Павлов.
Слайд 4
Примеры алгебраических софизмов
Пример 1. 1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство: 1 р. = 100 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 1 р. = 10 000 к. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа. Пример 2 5=6 Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки). Получаем 5=6 Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.
Слайд 5
Примеры геометрических софизмов
Загадочное исчезновение У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рис. 1. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Вопрос: Куда исчезла 13-я линия? Ответ: 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины. «Новое доказательство» теоремы Пифагора Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом , противолежащим катету a. Имеем: a = c sin , b = c cos , откуда a2 = c2 sin2, b2 = c2 cos2. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a2 + b2 = c2 (sin2 + cos2). Но sin2 + cos2 = 1, и поэтому a2 + b2 = c2. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Ошибки здесь нет. Но формула sin2 + cos2 = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора. N M Рис. 1
Слайд 6
Проведение исследования
Тема исследования «Нахождение ошибки в доказательстве софизма» Метод исследования – эксперимент Участники исследования – учащиеся 6,7,9 классов школы Задача исследования: возможность нахождения ошибки в доказательстве софизма
Слайд 7
Нахождение ошибки в доказательстве софизмов
Алгебраические софизмы Пример 1.1 р. = 10 000 к. Пример 2.5 = 6 Пример 3.2 + 2 = 5 Пример 4.Любое число равно его половине Пример 5.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пример 6.Любое число = 0 Геометрические софизмы Пример 1.Загадочное исчезновение. Пример 2.Земля и апельсин. Пример 3.Два перпендикуляра. Пример 4.«Новое доказательство» теоремы Пифагора.
Слайд 8
Основные ошибки в софизмах
Деление на 0; неправильные выводы из равенства дробей; неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения; нарушения правил действия с именованными величинами; путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств; проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла; неравносильный переход от одного неравенства к другому; выводы и вычисления по неверно построенным чертежам; ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.
Песенка, сочинённая английским студентом Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться? Не философия, а мечта лентяев!
Цель: изучить данную тему и создать презентацию для использования ее на уроках. Задачи: 1. Дать определение понятиям «софизм» и «парадоксы»; узнать, в чем их отличие. 2. Классифицировать различные виды софизмов и парадоксов. 3. Понять, как найти в них ошибку. 4. Составить компьютерную презентацию
Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Математические софизмы Софизм- формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)
Парадокс (греч. "пара" - "против", "доска" - "мнение") близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат.софизму Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадоксы Парадоксы
В Греции софистами называли и простых ораторов - философов - учителей, задачей которых было научить своих учеников « мыслить, говорить и делать ». Их задачей обычно было научить убедительно защитить любую точку зрения. Парадоксы были типичными способами постановки вопроса в античном мышлении. За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов. А теперь немного истории…
« Два неодинаковых натуральных числа равны между собой » решим систему двух уравнений Сделаем это подстановкой у из 2- го уравнения в 1, получаем х +8- х =6, откуда 8=6 Где ошибка Уравнение (2) можно записать как х +2 у =8, так что исходная система запишется в виде: Х +2 у =6, Х +2 у =8 В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т. е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у =3- х /2 и у =4- х /2 параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
« Уравнение x-a=0 не имеет корней » « Уравнение x-a=0 не имеет корней » Дано уравнение x-a=0. Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней. Где ошибка? Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.
0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c" title="« Все числа равны между собой » « Все числа равны между собой ». возьмём числа a 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c" class="link_thumb"> 12 « Все числа равны между собой » « Все числа равны между собой ». возьмём числа a 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + ca ab = ba b 2 + cb a(a + c b) = b(a b + c) отсюда a = b Где ошибка? По определению: a + c = b Значит, a + c b = 0 И выражение a(a + c b) = b(a + c b) Тождественно a 0 = b 0. 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c"> 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + ca ab = ba b 2 + cb a(a + c b) = b(a b + c) отсюда a = b Где ошибка? По определению: a + c = b Значит, a + c b = 0 И выражение a(a + c b) = b(a + c b) Тождественно a 0 = b 0."> 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c" title="« Все числа равны между собой » « Все числа равны между собой ». возьмём числа a 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c"> title="« Все числа равны между собой » « Все числа равны между собой ». возьмём числа a 0, что: a + c = b умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) a 2 + ca ab cb = ba b 2 cb переносим вправо, имеем: a 2 + c">
Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
« Дважды два - пять » Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или Так как 1:1=1, то сократим и получим Где ошибка? Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:44(1:1).
« Пять равно шести » Возьмем тождество = В каждой части вынесем за скобки общий множитель: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Теперь, получим, что 5=6. Где ошибка? Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число 7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.
« Один рубль не равен ста копейкам » « Один рубль не равен ста копейкам » Известно, что любые два равенства можно перемножить почленноее, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d, то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек Перемножая эти равенства почленноее, получим 10 рублей = копеек и разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = копеек Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
Парадокс « Разность квадратов » Парадокс « Разность квадратов » 1) а²-а² = а²-а² - имеем равенство 2) а(а-а) = (а+а)(а-а) – в первой части вынесем общий множитель за скобки, а во второй воспользуемся формулой 3) а = а+а – сократим на общий множитель (а-а) 4) а = 2 а.
Анкетирование 1. Укажите ваш пол. 2. Знакомы ли вам понятия математический « софизм » и « парадокс »? 3. Если, отвечая на предыдущий вопрос, вы ответили положительно, постарайтесь дать определения этих понятий. 4. Приводились ли примеры софизмов и парадоксов на уроках математики? (Ответ при условии положительного ответа на предыдущий вопрос) 5. Хотели бы вы больше узнать о математических парадосках и софизмах?
Заключение Я познакомился с увлекательной темой, узнал много нового, научился решать задачки на софизмы, находить в них ошибку, разбираться в парадосках. Тема моей работы далеко не исчерпана. Я рассмотрел лишь некоторые, самые известные примеры софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких - нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.
Литература 1. Lietzman W. Wo steckt der Fehler? Mathematische Trugschlüsse und Warnzeichen. – Leipzig? Аменицкий Н. Математические развлечения и любопытные приемы мышления. – М., Богомолов С. А. Актуальная бесконечность. – М.; Л., Больцано Б. Парадоксы бесконечного. – Одесса, Брадис В. М., Харчева А. К. Ошибки в математических рассуждениях. – М., Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. – М., Литцман В., Трир Ф. Где ошибка? – СПб., Лямин А. А. Математические парадоксы и интересные задачи. – М., Мадера А. Г., Мадера Д. А. Математические софизмы. – М.: Просвещение, Обреимов В. И. Математические софизмы. – 2- е изд. – СПб., 1889.
Данилов Дмитрий, учащийся 8 класса
Исследовательская работа. Дается определение софизма, описывается историческая справка, разбираются различные софизмы: арифметические, алгебраические, геометрические и другие.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
МОУ «ООШ с.Мавринка Пугачевского района Саратовской области» Исследовательская работа на муниципальной научно-практической конференции «Шаг в будущее» МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ ВЫПОЛНИЛ: учащийся 8 класса Данилов Дмитрий РУКОВОДИТЕЛЬ: учитель математики Меренкова Людмила Александровна
Цель моей работы - доказать, что софизмы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли. Показать практическое применение, их актуальность и в наше время. Задачи: Рассмотреть математические, алгебраические, геометрические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики. Попытаться найти ошибки в представленных софизмах. Показать софизмы из жизни и современной практики.
Введение. Мозги обязаны трудиться Софизмами принято называть утверждения, в доказательствах которых кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. В любой области математики - от простой арифметики до современных, более сложных областей – есть свои софизмы. В лучших из них рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям. Ошибкам в геометрических доказательствах Евклид посвятил целую книгу, но до наших дней она не дошла, и нам остаётся лишь гадать о том, какую невосполнимую утрату понесла из-за этого элементарная математика. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Развитие критического мышления позволит не только успешно освоить точные науки, но и не оказаться жертвой мошенников в жизни. Например, при оформлении кредита в банке не оказаться пожизненным его должником. Думаю, многие хотя бы раз в жизни слышали подобные высказывания: «Все числа равны» или «два равно трём». Таких примеров может быть очень много, но что же это значит? Кто это придумал? Можно ли как-то объяснить эти высказывания или всё это – вымысел? На эти вопросы и на многие другие я хочу ответить в своей работе. Существуют различные софизмы: логические, терминологические, психологические, математические и т.д.
ПОНЯТИЕ «СОФИЗМ» Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм, в отличие от паралогизма, основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.
ЭКСКУРС В ИСТОРИЮ Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. . Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. . Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Арифметика - (греч. arithmetika , от arithmys - число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда. 1. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В» Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В. Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А). (1) После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10. Где же ошибка???
2. «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его». Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем для них следующие очевидные неравенства: А>-В и В>-В. (1) Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство А*В>В*В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что А>В. (2) Записав же два других столь же бесспорных неравенства В>-А и А>-А, (3) Аналогично предыдущему получим, что В*А>А*А, а разделив на А>0, придем к неравенству А>В. (4) Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка???
3. «2+2=5» Чтобы доказать, что 2+2=5 , можно всего лишь доказать, что 4=5 Начнём с равенства: 16-36=25-45 Прибавим к обеим частям 20,25 , получим: 16-36+20,25=25-45+20,25 Заметим, что в обеих частях равенства можно вывести полный квадрат: 4²-2*4*4,5+4,5²=5²-2*5*4,5+4,5² Получим:: (4-4,5)²=(5-4,5)² Извлекаем корень из обеих частей равенства, получим: 4-4,5=5-4,5 4=5 что и требовалось доказать.
4.«Дважды два равно пяти» Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a 2 =2db-b 2 . Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d 2 . Будем иметь: a 2 -2da+d 2 =b 2 -2bd+d 2 , или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b , т.е. 2*2=5 Где ошибка???
5. «Пропавший рубль» Три подруги зашли в кафе выпить по чашке кофе. Выпили. Официант принес им счет на 30 рублей. Подруги заплатили по 10 рублей и вышли. Однако хозяин кафе почему-то решил, что поданный на этот столик кофе стоит 25 рублей, и велел вернуть посетительницам 5 рублей. Официант взял деньги и побежал догонять подруг, но пока бежал, подумал, что им будет трудно делить на троих 5 рублей, и поэтому решил отдать им по 1 рублю, а два рубля оставить себе. Так и сделал. Что же получилось? Подруги заплатили по 9 рублей. 9*3=27 рублей, да два рубля осталось у официанта. А где еще 1 рубль?
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Алгебра - один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
1. «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой» Решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1) у=4- х /2 (2) Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6 Где же ошибка???
2. «Отрицательное число больше положительного». Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а/- c и -а/ c Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: a /- c= - a / c Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного. Где ошибка???
3.Любое число a равно меньшему числу b Начнём с равенства: a=b+c Умножим обе его части на a-b , получим: a²-ab = ab+ac-b²-bc Перенесём ac в левую часть: a²-ab-ac = ab-b²-bc и разложим на множители: a (a-b-c) =b (a-b-c) Разделив обе части равенства на a-b-c , найдём a=b что и требовалось доказать.
4.Уравнение x-a=0 не имеет корней Дано уравнение: x-a=0 Разделим всё на x-a , получим: 1=0 Это равенство неверное, следовательно исходное уравнение не имеет корней.
5.Вес слона равен весу комара. Пусть х – вес слона, а у – вес комара. Обозначим сумму этих весов 2п, получим х+у=2п. Из этого равенства можно получить еще два: х – 2п = -у и х = -у + 2п. Перемножим почленно эти два равенства: х 2 – 2пх + п 2 =у 2 – 2пу + п 2 или (х – п) 2 = (у – п) 2 . Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим: х – п = у – п или х=у, т.е. вес слона равен весу комара! В чем тут дело?
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. 1. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть, а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c , b = a + c . Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc . Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc , или b (b - a - c) = - c (b - a - c), откуда b = - c , но c = b - a , поэтому b = a - b , или a = 2b. Где ошибка???
2.Задача о треугольнике Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. Откуда она берется?
Утверждение легко проверить вычислениями.
3. Исчезающий квадрат Большой квадрат составлен из четырёх одинаковых четырёхугольников и маленького квадрата. Если четырёхугольники развернуть, то они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого квадрата визуально не изменится.
Софизм Аристотеля Все окружности имеют одинаковую длину. Ведь при оборачивании двух окружностей с разными диаметрами ОА 1 и ОА 2 , каждая из них за один оборот спрямляется на одинаковый отрезок OO 1
Для выявления ошибки построен чертеж, показывающий, какую на самом деле траекторию проходят различные точки окружности, и становится очевидной ошибка доказательстве. Точки А 1 и А 2 во время движения колеса описывают кривые разной длины, их называют циклоидальными кривыми.
ПРОЧИЕ СОФИЗМЫ Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. «Полупустое и полуполное » «Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное». «Чётное и нечётное» «5 есть 2 + 3 («два и три»). Два - число чётное, три - нечётное, выходит, что пять - число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!» «Лекарства» «Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
«Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное» Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди. «Нет конца» Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.
« Куча» Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка. «Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?» Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень. «Равен ли полный стакан пустому?» Да. Проведем рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.
«Софизм Эватла » Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: "Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора". На это Эватл отвечал: "Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда". (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.) «Софизм Кратила » Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится.
Заключение. О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но, тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Развитая логика мышления может пригодиться в жизни. Софистика-это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой в них рассуждения кажутся безукоризненными! Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.
